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| GEOMETRÍA DEL PLANO 1 Introducción |
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| El Plano • Unidad y dividibilidad | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| EN EL TRABAJO titulado “Resetea el cerebro, Bienvenido al año 3117”, iniciamos el desarrollo de una “ontología del espacio”. En la descripción del conocimiento el espacio juega un papel esencial. El espacio es una característica sustancial de la energía. Por eso resulta imprescindible comenzar la descripción del conocimiento abordando la descripción del espacio. En este trabajo iniciamos dicha descripción abordando la geometría del plano. Lo haremos utilizando el lenguaje natural. Una vez que tengamos elaborada la gramática del lenguaje +GBIT, estamos trabajando en ella, reescribiremos este trabajo utilizando el lenguaje citado. En la citada “ontología del espacio” describimos cómo puede utilizarse un cubo para medir el espacio. También explicamos cómo a partir del cubo, mediante compresión de dos caras opuestas, se puede obtener un plano. En este trabajo vamos a ocuparnos exclusivamente de analizar la geometría del plano. Posteriormente nos ocuparemos de analizar la geometría del espacio. En nuestro planteamiento el plano tiene tres dimensiones. En la geometría del plano la tercera dimensión es constante y por lo tanto podemos ignorarla. Esto no será posible cuando abordemos la geometría del espacio, donde todos sus elementos, incluidas líneas y planos, deberán tener tres dimensiones. En el caso que nos ocupa el plano es el único dominio o ámbito donde vamos a trabajar. Todo lo que vamos a describir está incluido en el plano. Y para ello nos resulta suficiente usar dos dimensiones. 2. El Plano Antes de definir el plano conviene recordar algunos conceptos que definimos en el trabajo citado anteriormente. Llamaremos volumen al espacio asociado a un determinado elemento. Por lo tanto el volumen es la característica primaria con la que vamos a describir el espacio. La unidad de medida que usaremos para medir el volumen es el cubo. Superficie es un tipo particular de volumen en el que una de las tres dimensiones del volumen es mucho más pequeña que las otras dos. Cuánto más pequeña sea esa dimensión es algo que queda abierto para que pueda definirlo el usuario, sin perjuicio de que se establezca un porcentaje por defecto. El plano es un tipo particular de superficie. Definición de plano: un plano es el resultado de comprimir las dos caras opuestas de un cubo, de forma que la dimensión comprimida sea despreciable, a criterio del usuario, de las otras dos dimensiones. El cubo de partida tendrá las dimensiones que deseemos para el plano resultante. Su lado puede ser de 1mm., 1m., 1km., etc. Para nosotros el plano siempre es un elemento finito, igual que el espacio. Ya hemos explicado que el concepto de infinito es científicamente improcedente. Es una definición vacía, sin contenido semántico. Por lo tanto el plano sujeto de la geometría que vamos a describir es un cuadrado de unas determinadas dimensiones. Este cuadrado lo vamos a dividir en cuadrículas, cada una de las cuales es a su vez otro cuadrado. Nos referiremos a cada uno de estos cuadrados con el término píxel (píxeles), que ha sido estandarizado en el dominio del procesamiento de imágenes por ordenador. En la figura 1 se representa un plano como el que acabamos de describir. Figura 1. Representación genérica de un plano Las dimensiones de los píxeles dependerán de la resolución con la que deseemos representar los distintos elementos en el plano. Cuanto mayor sea la resolución que deseemos tanto más pequeña tendrá que ser la dimensión de los píxeles en los que dividamos el plano y viceversa. Es muy importante resaltar que el plano está constituido por la suma de todos y cada uno de los píxeles en que lo hemos dividido. Los píxeles son las partes del plano. Los píxeles son los elementos con los que vamos a construir toda la geometría del plano. Cualquier línea o figura geométrica será una agrupación de píxeles. Por eso en esta geometría necesitamos referirnos directamente a los píxeles. No nos interesan las transiciones entre los píxeles, nos interesan los propios píxeles. Cada píxel es un intervalo bidimensional. Al ser el plano un dominio de dos dimensiones cada píxel puede ser identificado por dos números. Uno corresponderá a la coordenada X y el otro a la coordenada Y. Obviamente es preciso establecer un píxel como origen de coordenadas. Las coordenadas del píxel de referencia serán (uno, uno). A partir del píxel de referencia se incrementa de uno en uno hacia la derecha y hacia arriba y se decrementa de uno en uno hacia la izquierda y hacia abajo. De esta forma podemos determinar la posición numérica relativa de cada píxel en relación al de referencia. Pero además, como todos los píxeles tienen la misma dimensión, el mismo número sirve para cuantificar la distancia, en términos de coordenadas X e Y, que ocupan todos los píxeles que hay entre el origen y el píxel en cuestión, incluyendo a ambos. La unidad de medida de esa cuantificación vendrá determinada por las dimensiones del píxel utilizado (mm, m, km, etc.). En la representación que estamos haciendo de los píxeles en el plano no cabe la utilización del cero. No existe un píxel de dimensión cero y por lo tanto no resulta procedente la utilización del número cero. Usaremos los números enteros sin el cero. En principio no necesitamos utilizar los números reales. Puede resultar útil a veces usar píxeles de dos dimensiones, cuando se desee trabajar con diferentes resoluciones. Eso equivale a utilizar una unidad de medida y un submúltiplo de la misma. En este caso la representación puede hacerse con dos números enteros, que pueden representarse unidos/separados por una coma. Nos ocuparemos en el próximo capítulo de esta cuestión. Es importante tomar en consideración que hasta ahora hemos hablado de números y no de sistema de numeración. Como ya explicamos en el trabajo RESETA EL CEREBRO, una cosa es el concepto de número, los números, y otra cosa es cómo representemos cada uno de esos números. Hay muchas formas de representar los números. La más usada es el sistema de numeración en base diez con los diez signos que comienzan en el 0. Pero también vimos allí que hay otras formas de implementar un sistema de numeración en base diez. No vamos a insistir aquí más en este asunto. Lo mencionamos para dejar claro que este trabajo, en el que estamos desarrollando la geometría del plano, es independiente del sistema de numeración que se use para representar los números. Trabajamos directamente con el concepto que encierran los números, y que cada uno los represente como considere más oportuno. Por el momento y para facilitar la comprensión del lector nosotros usaremos el sistema convencional de numeración en base diez. En la figura 2 se representa un plano en el que se ha marcado un píxel como referencia u origen de coordenadas (1, 1) y en el que se indican las representaciones numéricas de algunos otros píxeles a modo de ejemplo. Por defecto, si no se indica lo contrario, usaremos el píxel que ocupa la posición inferior izquierda como referencia.
Figura 2. Plano con píxel de referencia y algunos ejemplos de representación numérica de píxeles Es el momento de recapitular sobre lo dicho hasta ahora. Lo esencial es lo siguiente:
El siguiente paso para desarrollar la geometría del plano consiste en establecer una metodología que permita representar con eficiencia la agrupación de píxeles, desde las agrupaciones más sencillas hasta las más complejas. 3. Unidad y divisibilidad Conviene detenerse, antes de seguir, a reflexionar sobre la relación que existe entre los conceptos de unidad y divisibilidad. La unidad es un concepto que sirve para indicar que una determinada cantidad de materia y/o energía está cohesionada de forma que puede considerarse un elemento individualizado y separable de su entorno. Cualquier elemento unitario puede utilizarse como unidad de medida para cuantificar agrupaciones de elementos de las mismas características. Los elementos unitarios pueden juntarse para formar grupos. Y los grupos pueden dividirse para construir grupos más pequeños. Es aquí donde surge el concepto de divisibilidad. ¿Cuándo puede dividir de forma exacta una determinada cantidad de elementos unitarios entre una determinada cantidad de grupos? A esta pregunta responden satisfactoriamente los criterios de divisibilidad que las matemáticas establecen para la división de números naturales. Donde surgen los problemas es cuando se intenta dividir más allá de la unidad, o sea, cuando se intenta dividir la unidad. Las matemáticas asumen que la unidad es divisible decimalmente de forma progresiva y sin límites. Esto quiere decir que la unidad puede dividirse de forma exacta en diez partes iguales, que a su vez pueden dividirse cada una en otras diez partes iguales y así sucesivamente. Y nosotros pensamos que eso es mucho decir. Puede que si o puede que no. Los criterios de divisibilidad en los números reales, que son los que permiten dividir la unidad, están sustentados sobre la idea anterior. Eso significa, por ejemplo, que puedo dividir la unidad de forma exacta en diez partes iguales, pero no puedo dividirla en tres partes iguales. La división de uno entre diez es exacta y la división de uno entre tres no lo es. ¿Cuál es la diferencia entre la división de los números naturales y los reales? La diferencia radica en que lo que representan los números naturales y los números reales no tiene características equivalentes desde el punto de vista de la divisibilidad. Los números naturales representan a agregación de unidades. Por lo tanto cada número natural representa un grupo que está constituido exactamente por una determinada cantidad de elementos unitarios. Los números reales, en su parte decimal, representan la desagrupación o desagregación de la unidad. Además asumen que la unidad puede separarse en diez partes iguales. Esto puede ser cierto o no. Depende como se haya construido esa unidad. Una unidad puede estar formada, por ejemplo, por tres elementos unitarios de nivel inferior. En este caso esa unidad no sería divisible de forma exacta entre diez y si lo sería entre tres. Para ilustrar lo anterior tomemos como ejemplo la definición de segundo. Un segundo es 9.192.631.770 veces el periodo de la radiación correspondiente al salto entre los dos niveles de la estructura hiperfina del estado fundamental de los átomos del nucleido Cesio 133. Con esto lo que se está haciendo es definir el segundo mediante la agrupación de una determinada cantidad de elementos unitarios de nivel inferior. Y esto se hace así por considerar a esta unidad inferior como un elemento de gran estabilidad. Llamaremos a esta unidad inferior, unidad fundamental o primaria. Pero curiosamente la unidad resultante, el segundo, no es una potencia de diez de la unidad primaria. Por lo tanto el segundo no es divisible de forma exacta, por ejemplo entre mil, en términos de la citada unidad primaria. Eso quiere decir que no se pueden expresar de forma exacta, como agrupaciones de la unidad primaria, ni el milisegundo, ni el microsegundo, ni el nanosegundo, entre otros submúltiplos decimales del segundo. Por lo tanto la divisibilidad convencional del segundo queda cuestionada. Con lo dicho en los párrafos anteriores hemos resaltado otro inconveniente de los números reales. De esta forma confiamos en que el lector de este trabajo comprenda mejor porqué nosotros no usaremos los números reales en la geometría que estamos describiendo. Vamos a centrarnos ahora en las unidades que usaremos en la geometría del plano. Ya hemos dicho que el plano está dividido en píxeles (cuadrados). Esta será nuestra unidad de medida. Es una unidad de medida abstracta y sobre ella vamos a construir la geometría del plano. En cualquier momento se le puede asignar al píxel la dimensión espacial que se desee. En ese momento la unidad de medida deja de ser abstracta y se concretiza. La ventaja de trabajar con una unidad de medida abstracta es que la geometría se independiza de las unidades de medida concretas que cada uno desee usar. Así la geometría resultante será más general y robusta. La guiente pregunta que debemos hacer es ¿conviene dividir el píxel? La respuesta parece clara. Conviene dejar la puerta abierta para que puedan dividirse los píxeles. ¿En cuántos trozos? La respuesta también nos parece clara. En los que el usuario desee. Si conseguimos lo anterior quedará la geometría en condiciones de satisfacer todas las peculiaridades que cada usuario pueda necesitar o desear. ¿Cómo conseguirlo? Aquí entra en juego el análisis que hicimos anteriormente sobre la divisibilidad. La solución no pasa por coger una unidad arbitraria intermedia y presuponer que voy a poder dividirla en potencias de diez. La solución pasa por construir la unidad intermedia, en nuestro caso el píxel, mediante la agregación de una unidad primaria. De esta forma podremos elegir el tipo de divisibilidad que nos convenga. Vamos a llamar subpixel a la unidad primaria. Es también una unidad abstracta y es la parte más pequeña en la que, dentro de lo que podamos, deseamos dividir el plano. Para nosotros queda claro que la división del plano tiene un límite, por debajo del cual la tecnología disponible no puede bajar. Tratar de representar lo que esté por debajo de ese límite no tiene interés práctico. Sí puede suceder que nos interese trabajar por encima del límite. En cualquier caso el subpixel va a determinar la máxima resolución con la que trabajamos. Al subpixel, unidad primaria de medida abstracta, para concretizarlo se le deberá asignar, dentro de las posibles, una unidad de superficie que tenga una contrapartida exacta en el mundo real. Figura 3. Píxeles de varios tipos A partir del subpixel definimos el píxel. El píxel es una agrupación cuadrada de subpíxeles. Así tendremos píxeles de lado 1, 2, 3, 4, 5, etc., a los que llamaremos correlativamente píxel tipo 1, 2, 3, 4, 5, etc. Cada cual podrá trabajar con el tipo de píxel que desee. Basta con añadir a las coordenadas del píxel correspondiente el tipo de píxel al que corresponden. Esta estrategia permite trabajar a la vez con varios tipos de píxeles, así como asegurar la portabilidad de las representaciones gráficas. Es preciso resaltar que la divisibilidad de un píxel depende del tipo que sea. No es lo mismo la divisibilidad de un píxel tipo nueve que la de uno tipo diez. En la figura 3 se representan píxeles de varios tipos. La cuadrícula más pequeña representa los subpíxeles.
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